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L’appellation du  sixième degré de la gamme  diffère dans le système Franco-italien du système Anglo-saxon.

Ce  petit détail apparemment sans importance est en réalité une conception totalement différente de l’harmonie et de son enseignement.

Le système Franco- Italien

comporte deux degrés principaux :La  Tonique (I) et la  Dominante (V) associées à  leurs broderies( inférieures et supérieures).la gamme est centrée sur III: la médiante qui divise la quinte 1-V

LE VIIème degré est soit nommé Sous tonique s’il est situé à un ton en dessous de la tonique ou Sensible (dans le sens d’attirée ) s’il est située à un demi-ton de la tonique.
Le IIème degré se nomme  Sus-tonique car il est situé au dessus de la tonique.
Le IIIème degré s’appelle Médiante parcequ’il est situé au milieu de la gamme.
Le IV ème degré est logiquement appelée  Sous Dominante car située en dessous de la dominante.
Dans la même logique le VI ème se nomme Sus Dominante car elle succède à la dominante.

Ce système nous rappelle les modes d’église basés sur deux degrés principaux :

1. La finale,sorte de tonique qui termine la pièce mais qui ne présente pas l’effet prédominent de la tonique
2. La teneur,ancêtre de la dominante, qui est le degré le plus important des mélodies modales

Ce système déroule une ligne conjointe et favorise donc l’aspect mélodique et la conduite des voix propre aux règles du contrepoint.L’idée sous-jacente est que la mélodie crée l’harmonie; ce qui opposa Rousseau et Tartini à Rameau.

Le Système Anglo-saxon

centré sur la tonique (I) comprends trois degrés principaux:

1. La tonique entourée de ses notes de broderies (VII-II)
2. La Sous dominante IV ,située une quinte en dessous de la tonique
3. La Dominante V,une quinte au dessus de la Tonique


Ce système prend racine dans la théorie de la basse fondamentale de Rameau qui s’étendit plus facilement en Allemagne qu’en France et permis l’élaboration de la théorie des degrés (Stufentheorie) puis de l’harmonie fonctionnelle de Riemann .

L’enseignement porte surtout sur la progression des accords alors que l’enseignent français repose sur l’enchaînement d’intervalles.

Ici,le IVème degré est la sous dominante dans le sens de Dominante inférieure (Une quinte sous la tonique ) et non parce qu’elle précède la dominante dans l’échelle)   Il crée avec la tonique et la dominante le modèle harmonique de base:Une suite de quintes descendante

Le VIème degré est la sous médiantes (Sub median) car elle divise la quinte inférieure IV-I

le IIIème se situant au milieu de la quinte supérieure est logiquement la médiante ( mediant sous entendue supérieure)

C’est l’harmonie qui crée la mélodie contrairement à l’approche Franco-Italienne.

En fait ces deux systèmes ne sont pas antinomiques car ils partagent la plupart des règles de conduite des voix.

Il est intéressant de voir les divergences de traditions selon les pays. Les pays anglo-saxons ont conservé une notation antique pour le nom des notes (ABCDEH) et une notation récente pour le nom des degrés alors que la France et l’Italie ont fait le choix inverse ,le nom récent (relativement)des notes avec Ut re mi fa sol la et le choix contrapuntique, médiéval, pour les degrés

Table 2

	Corde initiale	Corde 1	Corde 2	Corde 3	Corde 4
Longueur (Ratio)	1	2/3	4/9=(2/3)2	8/27=(2/3)3	16/81=2/3)4
Longueur(en Cm)	81	54	36	24	16
Frequence(Ratio)	1	3/2	9/4 =(3/2)2	27/8=(3/2)3	81/16=(3/2)4
Frequence (en Hertz)	87	130.5	195.75	293,62	440,43

Appelons la corde initiale (0) F; les suivante sont C G D A E B.

Nous avons la Lyre à  7 cordes d’ Orphée

Toutes les notes forment la gamme de C maj mais
il faut faire des ajustements des longueurs, listées dans la table 3, pour rester dans l’étendue de l’octave .

Table 3

Il faut noter la symétrie

Note	Modification of longueur
C	L=
D	L*2
E	L*4
F	L/2
G	L=
A	L*2
B	L*4

2 cordes gardent leur longueur C (tonique) et G (dominante), certaines sont doublees (L*2) ou multipliees par 4.

seule la sub-dominante est divisée

Remarque : La tonique n’est pas la première corde mais la seconde corde.Maintenantsi nous ajoutons une 8ème corde à  notre lyre,nous obtenons F# puis en continuant C# G# D# A# E# B# c’est à  dire une autre lyre un demi ton plus haut avec B# plus haut que C et donc dépassant l’octave
.

Table 4

Noter la symétrie

Note	Modification de longueur
C#	L/16
D#	L/32
E#	L/64
F#	L/8
G#	L/16
A#	L/32
B#	L/64

donc pour continuer il faudrait un hypothetique l F## puis F ### etc…une spirale sans fin.

Nous possédons donc uniquement 2 lyres
Pour associer ces deux lyres,nous devons à nouveau ajuster la longueur des cordes.

Résumé :La division d’une corde en 2 parties égales (1/2)produit l’Octave tandis que la division en 3 parts égales (1/3)  donne une tierce + une octave.
Pour rester dans l’étendue d’une octave devons  donc diviser  le ratio (1/3):(1/2)= (1/3)x (2/1)=2/3=1.5

La succession de cordes 1.5 fois plus courtes ou plus longues produit une spirale sans fin de F C G D A E B un demi-ton plus haut que la précédente

Fb Cb Gd Db Ab Eb Bb
F C G D A E B

F# C# G# D# A# E# B#
F## C## G## D## A## E## B##

Puisque B# est plus haut que C seule 2 séquences sont possibles
Calculons les fréquences de nos 14 cordes
Partant d’une hypothétique corde appelée F et une fréquence arbitraire de 100 Hertz

• la première note C est 100*1.5 =150 Hz
• la seconde est G (150*1.5=225) or 100*1.5²
• la troisième is D (225*1.5=337.5) or 100*1.5³
• etc
• suivant le cycles des quintes jusqu’à B# (100*1.5¹⁴)

Cependant nous obtenons un pente raide puisque le 150 Hz initial atteint 29192.93 Hz (about 7 Octaves)en 14 palliers
Pour l’adoucir nous devons contenir toutes les fréquences dans le cadre d’une octave.

(de 150 Hertz à 150*2=300 Hertz dans notre exemple). Pour cela il faut diviser par 2 toute les fréquences supérieures à 300 autant de fois qu’il faut .
La Table 5 montre les deux lyres mise ensemble mais triées séparément par fréquence croissante.

Table 5

Note	Frequence	Note	Frequence
C	150
		C#	160.18
D	168.75
		D#	180.20
E	189.845
		E#	202.72
F	200
		F#	213.57
G	225
		G#	240.27
A	253.12
		A#	270.30
B	284.76
		B#	304.09
C	300(150*2)

En jouant les frequences en zigzag de haut en bas, on remarque l’ascension progressive de la gamme est brisée par 2 chutes (E# F) et (B#C).

Il faut donc supprimer 2 notes pour adoucir l’ascension.

B# dépasse l’octave, donc on peut aisément la supprimer,d’autant que l’octave doit être pure .
Le choix entre E# et F est plus difficile car quelque soit le choix , une quinte fifth E# -C ou A# -F sera trop petite; c’est la quinte du Loup.

D’un point de vue tonal on éliminera E# puisque le système tonal repose sur une tonique encadrée par deux quintes.

Cette Gamme pythagoricienne, basée sur les quintes , est constituée de 11 quintes pures etet une quinte plus étroite.

La description de cette gamme est une actualisation de la gamme pythagoricienne ou plus exactement de Ptolemée qui ne correspond absolument pas à la réalité historique

Nous utilisons les frequences ascendantes alors que Pythagore utilisait des longueurs de cordes croissantes (donc des fréquences descendantes).

Table 6

NOTE	C	F	Bb	Eb	Ab
LONGUEUR	1	3	9	27	51
FREQUENCE	4500	1500	500	166,66	55,55

D’ou la forme descendante des gammes antiques

En fait , Pythagore raisonnait à  partir d’une conception philosophique generale basée sur les nombres et rapports.

Outre le tetraktys (1+2+3+4=10),
La musique a été construite sur une de ses séries favourites appelée La proportion universelle: Un groupe de 4 nombres tels que 12, 9, 8 et 6,qui repose sur la combinaison du
pair et de l’ impair

Table 7 Pair & Impair

Pair	1	2		4		6		8		10		12
Impair	1		3			6			9			12

qui donne 3 sortes de rapport:

• Proportion Arithmétique : 12-9=9-6=3
• Proportion Harmonique 12-8/8-6=4/2=2
• Proportion Géométrique/8=9/6=3/2

• • 6 et 12 sont communs aux 2 séries
  • 9 est la moyenne arithmétique (6+12)/2
  • 8 est mediété Harmonic 2*(6*12)/12+6)

Résumé La proportion universelle de Pythagore repose sur 4 nombres tels que 12, 9, 8 and 6, et la combination du pair et de l’impair

C	F	G	C
12	9	8	6

En explorant chaque combinaison il déduit

• • • CF: 12/9=4/3=la quarte
    • CG: 12/8=3/2= la quinte
    • CC: 12/6=2/1= l’ octave
    • FG: 9/8=le ton
    • FC: 9/6=3/2=la quinte
    • GC: 8/6=4/3=la quarte

Avant Pythagore la lyre, basée sur le rapport 3/2 , n’avait que 5 cordes.
Pour encadrer les notes dans l’étendue d’une octave,appliquons le facteur longueur déja utilisé pour faire le tableau 8

Table 8

Numero de la corde	Note	longueur initiale	facteur d’adaptation de longueur	Nouvelle longueur	Fréquence
1	F	3/2	1/2	3/4	4/3
2	C	1	1	1	1
3	G	2/3	1	2/3	3/2
4	D	(2/3)2	2	8/9	9/8
5	A	(2/3)3	2	16/27	27/16

Table 9:triée par fréquence croissante

Numéro de corde	2		4		1		3		5
Note	C		D		F		G		A		C
Frequence	1		9/8		4/3		3/2		27/16		2
Intervalle		9/8		32/27		9/8		9/8		32/27
		T		Tierce Mineure		T		T		Tierce mineure

Table 10:Avec 7 Cordes

Numéro de corde	Note	Longueur initiale	facteur d’adaptation de longueur	Nouvelle longueur	Frequence
1	F	3/2	1/2	3/4	4/3
2	C	1	1	1	1
3	G	2/3	1	2/3	3/2
4	D	(2/3)2	2	8/9	9/8
5	A	(2/3)3	2	16/27	27/16
6	E	(2/3)4	4	64/81	81/64
7	B	(2/3)5	4	128/243	243/128

Table 11:Trié par fréquences croissantes

Numéro de corde

2

4

6

1

2

5

7

1

Note

C

D

E

F

G

A

B

C

Fréquence

1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16

243/128

2

Intervalle

9/8

9/8

256/243

9/8

9/8

9/8

256/243

T

T

ST

T

T

T

ST

Nous obtenons la gamme pythagoricienne avec deux sortes d’intervalles.
Le tone (T) et le e demi-tone (ST) qui est la différence entre
F et E 256/243=64 /81*4/3 ou C and B 256/243= 2/1*128/243

La succession de deux notes forme un intervalle qui est la différence entre la note inférieure et la note supérieure . Chaque note de la gamme est reliée à  la tonique. Par exemple, l’intervalle EF est CF-CE.

Puisque les notes sont des rapports,la différence est en fait un quotient

Pendant des siècles les musiciens se sont satisfait d’une gamme de 7 notes . Pour ajouter de la variété aux mélodies, certains compositeurs ont pensé diviser la gamme en 12 parties tout en gardant l’asymétrie en ajoutant des quintes dans les deux directions.

En montant on introduit les dièses en descendant on ajoute les bémols et les rapports sont inversés

Bb ← F ← C → G → D   2/3   2/3   3/2   3/2

Partant de C=150 Hertz,multiplions la longueur de corde , ou divisons la fréquence par 1.5 pour obtenir les quintes descendante (Ratio 2/3).En utilisant le facteur d’adaptation de longueur nous obtenons le tableau suivant.

Table 12: fréquences décroissantes>

Note	Fréquence	Facteur multiplicateur	Fréquence corrigée
C	150	1	150
F	100	2	200
Bb	66.67	4	266.68
Eb	44.45	4	177.8
Ab	29.63	8	237.04
Db	19.75	8	158
Gb	13	16	210.72
Cb	17	32	280.96
Fb	5.85	32	187.2

Comparé au tableau 5 nous remarquons que les notes diésées ont une fréquence supérieure à leur note enharmonique (C#-Db) avec bémol

C=150

C#=160.18

Db=158

La légère différence entre le demi ton chromatique (appelé Apotome) le demi ton diatonique (ou Limma) est le comma Pythagoricien 2⁷/_3¹²/2¹²=2⁷*2¹²/3¹²=2¹⁹1/3¹² =0.987 (or 312/219) = 1,013.

La différence entre C and C# est le rapport: 160.18/150=1.067 (Apotome)
La différence entre C and Db est le rapport: 158/150=1.053 (Limma)

comma Pythagoricien =Apotome/limma=1.067/1.053=1.013

 

 

12 Quintes font approximativement 7 octaves (27) =128 tandis que 12 quintes pures=(312/212 = 129.74) La différence (quotient) comma Pythagoricien: 128/129, 74=0.987

l’Apotome est la différence (quotient) entre le ton (9/8) et le demi ton (256/243)
9/8/256/243=9/8*243/256=2187/ 2048=37/211

La Limma est la différence (quotient) entre la quarte (4/3) et le ditone ou tierce Pythagoricienne 9/8*9/8=81/64
4/3 /81/64=4/3*64/81= 256/243=28/35

Comme 12 quintes pures consécutives aboutissent à B# au lieu de C, Une quinte doit être réduite pour garder l’octave pure. C’est la quinte du Loup.
N’importe quelle quinte peut être la quinte du Loup mais en général on utilise l’intervalle G#-D# qui est généralement inutilisé. Cependant cette méthode ne permet pas les modulations et il faut ré-accorder les instruments à chaque changement de tonalité .

De plus la gamme de Pythagore/ Ptolémée possède 2 sortes de demi-ton. Tout cela est acceptable aussi longtemps que la musique n’était que mélodique jouée avec des instruments à son non fixé comme le violon mais il devint difficile de jouer les polyphonies au clavier qui demandait des notes supplémentaires ou aux instruments à frets qui devenaient faux en changeant de tonalité

Examinons ce qui ce passe en jouant deux cordes simultanément.

En reprenant la figure 5 montrant un cycle, on voit que la courbe sinusoidale coupe la ligne de repos 3 fois par cycle.

Les points de croisement (pas de son) s’appelle les noeuds et entre les noeuds se trouvent les parties vibrantes .
Il faut souligner que les courbes sinusoidales appartiennent aux sons purs :1 seule fréquence

Le Son est généralement un mélange de sons purs avec différentes fréquences, appelées Harmoniques qui changent la forme de l’onde résultante en additionnant ou soustrayant leur intensité selon la loi déjà énoncée

Crête+Crête or Creux +Creux s’additionnent créant un son plus fort

Crête + Creux se soustraient mutuellement assourdissant le son

Deux cord jouée ensemble changent la forme de l’onde résultante de la même façon.
Fréquences avec un nombre entier sont musicales car les petits cycles divisent exactement les plus grands donc les noeuds coincident avec les noeuds de la fondamentales et créer un motif régulier.

Les noeuds peuvent être assimilés à une division de la corde .

La Figure 5 ,qui représente la fréquence de la fondamental (F1) (appelée 1er harmonique (H1),demande une attention particulière . La longueur d’onde l est double de la longueur de la corde car l’onde va et vient ; une onde direct et une onde réfléchie.

Comme représentation des harmoniques,seule la première partie du cycle est concernée

La longueur de la corde est une de noeud( figure 6)

addition of noeuds implique addition de demi cycle.

Comme la fréquence de la fondamental (F1) ((1er harmonique H1) a une longueur d’onde double de la longueur de la corde (L), λ1=2/1*L, la longueur d’onde du second harmonique est l2=2/2*L ,du troisième harmonique l3=2/3*L
du nème harmonique=ln=2/n*L

Fréquence du nème harmoniques F(n) = F1 (fréquence de la fondamentale) * n

et     λn=1/n*L1

La note fondamentale est accompagnée de plusieurs tons de fréquence plus 2,3,4,5 etc.. fois plus élevée appelés overtones
Beaucoup de musiciens utilisent indifféremment les termes Harmoniques,overtones et partiels .
D’autre appellent la Fondamentale 1er harmonique, le second harmonique étant le premier overtone; ou encore la fondamentale est première t partielle

• • Certains auteurs reserve le terme « partielle aux overtones qui ne sont pas multiples entiers de la fondamentale

La situation est des plus confuse

 

 

Musical ne signifie pas consonant;

Plus le rapport est faible (proche de la fondamentale , plus il est consonant
donc 2/1(octave) est plus consonant que 3/2 la quinte qui est plus consonant que 4/3 la quarte qui partagent moins d’harmoniques que l’octave.

• • • Dans l’ Octave un harmonique sur 2 est commun
    • Dans la quinte 1 harmonique sur 3 est commun etc….

A nouveau on retrouve la série des harmoniques (résonance).

Mais si 2 fréquences (< 7 cycles) interfèrent il se produit un battement caractérisé par changement régulier d’ amplitude de 0 (pas de son ) à une augmentation puis diminution du son

La fréquence du battement qui est une sorte de gonflement du son est la différence pas le rapport ) entre les 2 fréquences.

Par exemple 258 Hz – 256 Hz = 2 Hz

Là est le problème

En reprenant les harmoniques, la fréquence de la tierce majeure (H5) est 5 fois la fréquence de la fondamentale

avec C= 150

E est 150*5 =750 divisé par   4 pour rester dans l’étendue d’une octave 750/4=187.5

alors que la gamme Pythagoricienne (table 4) indique E =189.84.

A cause du battement , la différence, appelé syntonique ( voir ci-dessous) était inacceptable pour les polyphonies et les accords;

d’où le développement de l’ornementation et des tempéraments .

Résumé

2 Fréquences proches (< 7 cycles) interfèrent l’une avec l’autre et créer le phénomène  de battement inacceptable dans les polyphonie et accords mais amélioré par l’ornementation et les tempéraments

L’Ornementation
En particulier dans la musique baroque pour clavecin , ou les battement proéminents dans les accords longs étaient masqués par l’addition de notes trille, mordent etc

Les Tempéraments

Le but des musiciens est de surmonter une impossibilité : construire l’octave pure et une gamme utilisant des intervalle simple Malheureusement la malédiction du musiciens est que 2 (l’octave) ne peut pas etre exactement divisé par 3 (le générateur de notes),Il faut faire des choix

Comme nous l’avons déjà vu ,

• • • On peut accorder 11 quintes pures et négliger la 12
    • ou répartir la réduction (principe des tempéraments) sur plusieurs quintes ( tempérament inégal de Werckmeister par exemple, utilisé au temps de Bach) qui adoucit les impuretés et permet certaines modulations
    • ou repartir la réduction sur les 12 quintes (tempérament égal) ou tout, en dehors de l’octave, est un peu faux mais qui améliore certaines tierces et quintes.2 systèmes sont particulièrement importants:
      • -Le tempérament Mesotonique (XVIIth Century):Les tierce sont pures et le quintes presque pures pour une tonalité donnée
      • Notre Système tempéré égal ou tout est faux en dehors de l’ octave

       

      Pour Résumer la gamme pythagoricienne :

      • Les quintes sont justes a l’exception de la quinte du Loup
      • Les tierces majeures sont plus grande que la tierce pure issue de la résonance
      • les tierces mineurs sont dont trop petites
      • Il y a 2 sortes de demi-ton qui ne correspondent pas a un ton .

      En dépit de ces désavantages, cette gamme ne peut être ignorée car seules les quinte sont génératrices des douze tons.

      A titre de test prenons dans la série harmonique la consonance suivant la quinte: la tierce majeure (H5).Essayons de générer une gamme à  partir des tierces majeures: C E G# B#; en 3 sauts nous atteignons et dépassons l’octave .

Comme la tierce Pythagoricienne est plus grande que la pure , l’accord( triade) est faux.

Zarlino, introduit alors le chiffre  5, pour essayer d’ajuster d’autres intervalles afin de garder les tierces pures.

L’idée générale est de privilégier les 3 accords de la tonalité

I -IV-V.

Pour ce faire, il garde les quintes Pythagoricienne F-C, C-G, et G-D (pour la gamme de C Major ) et adapte D-A / A-E / E-B.

Il obtient les rapports suivants:

• • • CD=9/8 Le ton Pythagoricien
    • CE= 5/4 Tierce majeure pure
    • CF=4/3 la quarte pure
    • CG=3/2 La quinte pure
    • CA= 5/3 la tierce (5/4) de la quarte (4/3) (5/4*4/3=20/12=5/3)
    • CB=15/8 la tierce (5/4) de la quinte (3/2) 
    • (5/4*3/2=15/8)

Malheureusement cette gamme conduit à  2 sortes de tons 9/8 ( le ton Pythagoricien) et 10/9, 1 sorte de demi-ton (16/15) et une quinte du loup (D-A)

( A est la tierce ( pure) de F, et non la quinte de D).

Table 14 A :Gamme de C maj de Zarlino

Notes	frequence Initiale	Ratio	frequence Resultante
C	150	1/1	150
D	150	9/8	168.75
E	150	5/4	187.5
F	150	4/3	200
G	150	3/2	225
A	150	5/3	250
B	150	15/8	281.25
C	150	2	300

Table 14 B :Gamme de D maj de Zarlino

Notes	frequence Initiale	Ratio	frequence Resultante
D	168.75	1/1	168.75
E	168.75	9/8	189.84
F#	168.75	5/4	210.93
G	168.75	4/3	225
A	168.75	3/2	253.12
B	168.75	5/3	281.25
C#	168.75	15/8	316.40
D	168.75	2	337.5

.

En Comparant les gammes de C maj et D Maj , on note que certaines notes (D G B) ont la même fréquence dans les 2 tonalités mais A est différent car il est maintenant la quinte de la tonique au lieu de la tierce de la sub-tonique en C maj.

L’ extension à  la gamme chromatique devient très compliquée car 2 cycles (Quintes et tierces) sont impliquées donnant plusieurs possibilités pour arriver au but mais avec résultats différents et plusieurs sortes de commas .

Les notes bémolisées et les notes diésées sont des valeurs différentes selon la succession des notes.

Cependant ce système convient parfaitement aux accords
car il utilise les éléments 4:5:6 (pour l’accord Maj) et 10:12:15 (pour l’accord min)de la résonance sans battements

Les facteurs 2 et 3 de Pythagore générant des tierces trop larges et l’addition du facteur 5 de Zarlino créant plus de complications que de résolutions du problème, Holder choisit une méthode de calcul totalement différente en  utilisant les nombres irrationnels (racines) pour diviser l’octave en 53 parties égales; ce qui est un compromis entre le comma syntonique de Zarlino et le comma Pythagoricien .

53 vient de l’octave Pythagoricienne qui est faite de 5 apotomes de 5 commas et 7 limmas de 4 commas.
53= (5*5) + (7*4)

Table 15 : Gamme de C Maj Holderienne

NOTES	Puissance de 2	fréquence Initiale	Multipliée par	Fréquence
C	0	150	1	150
D	9/53	150	1,12491136	168,736703
E	18/53	150	1,26542556	189,813834
F	22/53	150	1,33338587	200,00788
G	31/53	150	1,4999409	224,991135
A	40/53	150	1,68730056	253,095083
B	49/53	150	1,89806356	284,709534
C	1	150	2	300

Chaque comma holderien vaut 2 ^1/53 (53^th root of 2)

La gamme Holderiennen (celle décrite dans nos livres moderne de théorie),possède ,comme la gamme pythagoricienne 1 sorte de ton et 2 sortes de demi-ton, le demi-ton diatonique et le demi-ton chromatique.

• • Le Ton a 9  commas holderiens 
  • Le demi-ton diatonique a 4 commas
  • Le demi-ton chromatique possède 5 commas

.

Donc

• • • Un ton is 2^9/53 (=1,1249)fois la fréquence initiale
    • Le demi-ton diatonique est 2^4/53 (=1,0537) fois la fréquence initiale
    • Le demi-ton chromatique est 2^5/53 (=1,0675) fois la fréquence initiale

Le calcul de la gamme chromatique holderienne est plutôt compliqué car plusieurs combinaisons des facteurs 1, 4, 5 et 9 sont possibles pour conduire à  la gamme de 31 notes

Table 16:système de Holder La Première ligne est le numérateur n de la racine

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
C	B#			Db	C#				D

Les Fréquences des notes ne sont pas très différentes de celles du système Pythagoricien
maisr leur nature est différente et a ouvert la voie à notre gamme tempérée moderne .

La présence de 2 sortes de demi-tons permet l’intonation expressivec’est la gamme des chanteurs

Le calcul de la gamme chromatique holderienne est plutôt compliqué car plusieurs combinaisons des facteurs 1, 4, 5 et 9 sont possibles pour conduire à  la gamme de 31 notes

Table 17: Les 31 notes ordonnées du système de Holder La première colonne est le numérateur n de la racine
: Exemple G=2^31/53

Table 16:système de Holder La Première ligne est le numérateur n de la racine

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
C	B#			Db	C#				D

Les Fréquences des notes ne sont pas très différentes de celles du système Pythagoricien
maisr leur nature est différente et a  ouvert la voieà  notre gamme tempérée moderne .

La présence de 2 sortes de demi-tons permet l’intonation expressivec’est la gamme des chanteurs

L’histoire des Modes est une affaire plutôt compliquée

Dorien, Lydien etc sont les noms grecs qui se réfèrent à des gammes antiques descendantes mais attribuées plus récemment à des gammes Grégoriennes ascendantes.

Un nom donné ne s’applique pas forcément à  la même gamme selon l’époque ou les auteurs; de plus les gammes Grégoriennes avait deux formes (authente et plagale qui est une  quinte plus basse que la forme authente   qui se chevauchent) La plus grande confusion règne.

Le plus simple est d’ignorer la nomenclature. Partant de C maj, les modes reprennent la gamme sur chaque degré dans un ambitus d’une octave . Nous avons donc la gamme de Ré au lieu mode (Dorien), gamme de MI pour le mode Phrygien etc.

Chaque mode peut bien  être transposé et nous dirons, par exemple, mode de Ré transposé sur G.

 

 

La série descendante des harmoniques n’a pas les propriétés de résonance dans les conditions normales .(Nécessité d’employer des moyens electro acoustiques ou certaines techniques)

Elle est symétriqueà  la forme ascendante mais aboutit à  un accord mineur que l’on ne perçoit pas . Donc seules les harmoniques supérieurs sont perçus d’ou la règle de l’harmonie de se référer à  la basse.

La série descendante produit l’accord mineur chord une quinte plus bas que la fondamentale donc C émet l’ accord de C maj en montant et de F min en descendant.

Attention :La série descendante ne doit pas être confondue avec  Le troisième son de Tartini (bien qu’il soit reliés)

Symétrie dans les rapports ne signifie pas forcément symétrie dans la gamme.

Table 17: Les 31 notes ordonnées du système de Holder La première colonne est le numérateur n de la racine
: Exemple G=2^31/53

Les demi -tons ascendants (gamme C maj) et descendants ( gammes de F min) ne correspondent pas

C	D	E	F	G	A	B	C
F	Eb	Db	C	Bb	Ab	G	F

Cependant une gamme majeur a toujours son miroir mineur exact qui est situé tierce majeure au dessus de la fondamentale donc le miroir de C maj est E min

C Maj ascendant et son miroir

C	D	E	F	G	A	B	C
E	D	C	B	A	G	F	E

L’inverse est aussi vrai

Donc le vrai relatif mineur (selon Vincent d’Indy) de C maj est E minor ( mode phrygien ) et non  Am

La mineur (Eolien sans sensible) n’est pas le miroir exact de Do majeur

Cependant la gamme lydienne( E mineur sans altérations ni structurelle ni accidentelle), miroir exact de Do majeur, a une parenté avec La mineur :En prenant MI comme fondamentale, la suite descendante des quintes donne l’accord de La mineur une quinte sous Mi

De plus ces deux gammes opposées se partagent les degrés IV et V créant soit une cadence authente V-I soit une cadence plagale IV-I

Attention l’inverse n’est pas vrai

Prenant la suite  A←C←E←A←E  (harmoniques descendantes de E)  le miroir n’est pas DO mais Mi .En considérant La comme fondamentale on doit élever le 7ème degré pour obtenir une gamme ressemblant au majeur mais  on sort de la tonalité et la gamme devint hybride

La confusion remonte à  la période baroque et sa basse continue.La note de basse était prépondérante et l’accord était dit mineur (dans le sens petit)quand la tierce inférieure était mineur. Mais l’accord mineur n’est pas plus petit que l’accord majeur puisque tous les deux comportent une tierce majeure et une tierce mineur en ordre inversé et forment une quinte juste

Modalité et tempérament

Bien que l’antique gamme Pythagoricienne , soit faite de 5 puis 7 notes et contienne des tons et demi-tons, il n’y a pas de hiérarchie puisqu’une note quelconque est 1.5 fois plus haute que la précédente Il n’y a pas de tonique imposée.

Comme les gamme étaient descendantes elle n’étaient pas basées sur la résonance et étaient dédiées aux mélodies .

Avec le mouvement ascendant des gammes et l’avènement des polyphonies , la modalité est devenu une notion ambiguë car le concept de résonance est appliquéà  un système non résonant .

Le Mode n’est plus un changement de direction de la gamme mais un changement dans la distribution des tons et demi-tons qui procure aux gammes un « épice » particulier.

malheureusement détruit ultérieurement par le tempérament égal.

Ainsi les nouveaux concepts dévoilent des défauts qui avaient été plus ou moins résolus mais , dont on a oublié la cause originale , et tout devient confus.

Un peu comme un bricoleur qui colle du papier peint de travers ;il coupe se qui dépasse,met un galon pour masquer la partie manquante puis non satisfait du résultat, recherche une autre solution sans se rappeler qu’il a posé le papier de travers.

Pour conclure : Il me semble que la confusion vient souvent du fait que le principe des proportions se retrouve dans différent champs musicaux intriqués .

• • -La Fréquence est proportionnelle à  la masse d’un matériel : Un fait physique qui concerne la production du son et du au  timbre selon
    • • le rapport Poids /Volume (Densité) suivant le type de matériel (bois, métal, cristal etc)
        Par exemple, le compositeur peut choisir de faire jouer une même note par une trompette ( colonne d’air) ou un vibraphone (bloc de métal ) etc

    ou

    • • le rapport Longueur / diamètre pour les cordes et colonne d’air

    . par exemple un violoniste peut jouer une même note (F# 5) sur les 4 cordes.

Le musicien, qui est un fabriquant de fréquences , peut donc jouer différemment une note (une fréquence donnée) en utilisant différentes sortes de proportions:

• • la fréquence est  proportionnelle à  la longueur de la  corde

Une affirmation qui se réfère la mélodie ( notes successives)

Cependant les noeuds étant des divisions de la corde la dite affirmation se réfère à la résonance et donc l’harmonie (notes simultanées)

Note: Dans de nombreuses situations la  différence entre les systèmes acoustiques est si petite que l’on peut penser que c’est Beaucoup de bruit pour rien mais  il faut souligner que ces  différences de concepts mène à  de nouvelles voies de recherche comme de  nouvelles règles de  contrepoint et d’ harmonie avec l’apparition des tierces pures, de nouvelles factures  instrumentales avec l’ introduction des  temperaments ou de nouveaux timbrse avec les micro intervals.