Que veut dire » Jouer juste » au violon

Il n’y a, malheureusement ou heureusement, pas de réponse précise;tout dépend du contexte.

Le grand violoniste Jacques Thibault avait la réputation de ne pas toujours jouer juste mais comme le faisait remarquer un de ses illustres élèves, Ivry Gitlis en jouant  » le bémol plus bas »  il ajoutait de la couleur

Dans l’art du violon Laurent Korcia aime « le son un peu rauque » d’un Isaac Stern  qui « jouait faux mais sonnait juste ».

Nous ne parlons pas là de  violoneux amateurs mais de solistes internationaux et pourtant leur  intonation ne faisait pas l’unanimité

Nous allons donc essayer d’y voir un peu plus clair.

Les principaux systèmes acoustiques avaient été abordés dans l’article Acoustique dont voici un résumé succinct

Mais avant toute chose rappelons les sons harmoniques découverts par un acousticien sourd: Joseph Sauveur en 1701

Un son dit fondamental est accompagné d’autres sons plus faibles dont la fréquence est un multiple de la série des entiers :

Son fondamental multiplié par donne
  2 L′octave
  3 La Quinte
  4 L′octave
  5 La tierce Majeure

etc..(en faisant éventuellement les divisions par 2 pour rester dans l’octave)

Pour le violoniste ,altiste,violoncelliste ou contrebassiste
il y a trois choix.
    1. le système Pythagoricien

qui est basé sur la division d’une corde

    • par 2 qui produit l’octave

et par

  • 3
    qui produit la quinte

 

(En fait une 12ème qu’il faut diviser par 2 pour obtenir la quinte )
12 quintes dépassent légèrement 7 octaves ( si# est plus haut que Do)

    • L’octave est juste :c’est le point commun de tous les systèmes
    • Les quinte sont justes (sauf une)
    • La tierce majeure est trop haute (par rapport à la Tierce Naturelle (harmonique 5)

Il y a

  • une sorte de ton
  • une sorte de demi ton diatonique qui est très serré donc fortement attractif.
  • une sorte de demi-ton chromatique plus grand que le demi-ton diatonique.
  • un sorte de comma

 

  • le système de Zarlino

 

qui reprend les divisions de Pythagore et ajoute la division par 5 pour avoir la Tierce majeure « naturelle » de la série harmonique

Cet ajout va créer de grandes perturbations mais l′avantage est que les accords majeurs et mineurs sont purs (il n’y a pas de battements)

Cependant cet avantage est limité à 3 tierces; essentiellement aux 3 bons degrés en majeur.

Dans ce système,

  • Les octaves sont pures
  • les tierces d’une tonalité donnée sont également pures
  • seulement 4 quintes sont pures
  • Deux sortes de tons
  • deux sortes de demi-tons diatoniques
  • deux sortes de demi-tons chromatiques (plus petits que les demi-tons diatoniques)

Globalement les demi-tons sont très larges donc sans pouvoir attractif

  • Les deux tétracordes sont différents
  • les dièses et bémols n’ont pas de valeurs fixes (en fonction des enchaînements) mais les notes diésées sont plus basses que dans le système pythagoricien (l′inverse pour les bémols)
  • le Si# peut être plus haut ou plus bas que Do en fonction de l’enchaînement
  • il y a environ 10 sortes de comma

Ces inégalités rendent ce système impropre aux modulations

 

  • le système tempéré
    Mise à part l′octave, nous voyons que les intervalles justes interdisent la fermeture du cercle (que Si retourne à Do)
    L’octave a donc été divisée en 12 parties égales avec tous les intervalles un peu faux mais tolérables par l′oreille et permettant toutes les modulations,
    au détriment de la couleur.
    Il n’y a qu′une sorte de ton et de demi-ton(avec deux orthographes: diatonique/chromatique) et donc pas de comma.

 

Remarque
Ces 3 systèmes sont différents de la théorie issue du système Holder qui décrit les demi-tons diatoniques à 4 commas et demi-tons chromatiques à 5 commas. Le mode de calcul est autre  mais  les valeurs sont proches du système pythagoricien.

Il faut souligner que tous ces systèmes relèvent plus de modes de calcul que de phénomènes physiques.

De ce bref exposé on peut déduire quelques évidences

  • En solo,Pythagore est le plus naturel puisque l′accord de l’instrument se fait par quintes ou quartes (pour la contrebasse) et d′autre part le pouvoir attractif du demi-ton permet une ligne mélodique expressive
  • Pour un duo violon- piano,le système tempéré semble le meilleur choix car le piano est accordé selon le système tempéré pour limiter le nombre de touches (par exemple C#-Db même touche)
  • En quatuor,le choix va vers le système de Zarlino car l′accord alto-violon en cordes à vide forme une sixte (13 ème) C-A trop basse et une tierce(17ème)  C-E trop haute . D′autre part la musique n’est, qu’en partie  harmonique.

Le « en partie » est important car on voit que ce système ne peut être utilisé seul.

Nous voyons donc que l’instrumentiste doit faire des choix

        • stratégiques selon la formation dans laquelle il joue.
        • des choix stylistiques: par exemple choisir le système de Zarlino pour ses demi-tons peu attractif dans une mélodie modale ou le système pythagoricien pour une mélodie brillante
        • des choix techniques: Paganini accordait le Sol un quart de ton plus haut ce qui adoucit les tierces/sixtes comme dans le début du Caprice 21 mais, bien qu’il y ait un rapport, nous sortons de notre sujet.
          Mais qui dit choix dit risque de critiques
        • En adoptant le système tempéré c’est  beaucoup moins risqué mais on perd la personnalisation: Toujours dans l’art du violon,Isaac Perlman semble regretter les générations précédentes dont les  solistes avaient tous un son différent.

Ceci dit il faut relativiser le rôle de ces systèmes dans le travail d′intonation.

En effet,

  • Ces systèmes sont théoriques,basés sur des calculs pouvant donner des résultats différents selon l′approche mathématique
  • L′oreille,qui fonctionne sur des fonctions logarithmiques,présente un certaine tolérance aux petites différences de fréquences :la discrimination est de l’ordre d’un Hertz pour les oreilles entraînées mais les dissonances n’apparaissent qu’au delà de 5 hertz
  • La pratique quasi systématique du Vibrato atténue les différences d’écart d ′autant que la plupart des commas sont dans les limites « discrimination de l’oreille – dissonance »
  • la dynamique a également une influence sur la justesse mais négligeable dans l’étendue des fréquences  usuelles d’une mélodie.

En dehors des systèmes acoustiques il faut également discuter d’autres paramètres .

    • Les harmoniques    De la même manière qu’on  utilise les cordes à vide pour contrôler sa justesse ,on peut utiliser les harmoniques naturels . Je voudrais faire remarquer que les harmoniques d’une corde donnée forme l’accord parfait majeur en juste intonation , s’agissant d’une division de corde . Une note jouée correctement entre en sympathie avec les harmoniques des autres cordes. On remarque dans
      exercices que  seules 4 notes ne sont pas concernées (si on néglige les sauts d’octaves)-  en effet la quinte devient fondamentale sur la corde adjacente-                                         mais grâce au

 

  •  Troisième son de Tartini nous pouvons compenser les manques. Il peut être utile d’enchaîner  plusieurs intervalles, notamment en alternant tierce-sixte, pour faire ressortir ce « son fantôme ». Ce conseil de Léopold Mozart  montre bien la difficulté de percevoir ce son.
  • Dans l’enchaînement regroupant les divers intervalles pour un son donné on y retrouve  la logique de Sevcik.

Conclusion

Comme pour l’harmonique 7, le 3ème son de Tartini n’est pas très scientifique dans le sens  où il est difficilement reproductible mais  sa recherche est une manière de soigner l’intonation et la recherche d’un joli son.

Acoustique

Note préliminaire: Cet article est dédié aux musiciens qui,comme moi, sont hermétiques aux mathématiques.Certaines notions paraitront inexactes aux mathématiciens et physiciens. Les références à  Pythagore ne sont également pas une vérité historique car elle couvre en fait une période de 15 siècles vue au travers du prisme de la conception moderne des mathématiques. A partir de notions de physique ,ce papier explore les 4 principaux systèmes acoustiques

  1. Pythagore
  2. Zarlino
  3. Holder
  4. Système Tempéré

puis introduit les intrications entre tempéraments et modes.

Resonance, intonation, tempérament etc, semblent des notions confuses pour de nombreux musiciens
A travers des notions connues , j’essayerai de clarifier les choses, selon ma propre compréhension ( représentation mentale devrais-je dire) des phénomènes.

La hauteur d’un son dépend de la fréquence. Les sons graves sont de basse fréquence , les sons aigus ont une haute fréquence..

Vitesse du son et fréquence  semblent souvent confondus et je vais essayer de présenter ces concepts d’une manière peu orthodoxe.

Une simple approche de la notion de fréquence est d’imaginer le son comme des vibrations qui frappent régulièrement le tympan. Entre deux « tocs »,  la distance est appelée Longueur d’onde (notée lambda) et la durée appelée Période .
La Physique nous apprend que le rapport Distance/Temps est la définition de la vitesse.

Haute fréquence, signifie des coups plus fréquents sur le tympan; il y a une plus grande vitesse qui nécessite donc une distance (longueur d’onde plus courte et une durée plus courte entre les coups (période)
Nous voyons la relation longueur d’onde, période et fréquence.

Physiquement parlant, le son est une onde sinusoïdale régulière formant des cycles.

La Figure 1 montre un cycle fait d’un partie convexe et d’une partie concave. L’amplitude mesure  de la ligne de repos au sommet de la crête (ou du creux) détermine l’ intensité du son (plus ou moins fort). La distance est la longueur d’onde (l) et durée la période (P).
Il faut noter que la longueur d’onde est une sorte de raccourci et que la vitesse dont nous parlions plus haut n’est pas la vitesse du son qui effectue un trajet plus long mais la vitesse d’apparition toc-toc-toc sur le tympan ,autre moyen d’exprimer la notion de fréquence ;.

Avec une période égale a  une seconde ,nous avons l’unité de fréquence:le Hertz (Hz) 1Hz = 1Cycle/s

Figure 2

La figure 2, nous montre la possibilité de mettre plusieurs cycles dans notre boite unitaire de une seconde à  condition que la longueur d’onde

 mesurée de crête à  crête ou de creux à  creux , et sa période associée  soient rétrécies

Cela nous montre comment la fréquence (nombre de cycles par unité de temps ) est reliée à  la vitesse du son.

La vitesse du son  ou   Celerité (C)  (terme utilisé pour la propagation des ondes est  presque  constante dans un milieu donné tel que l’ air.

 Sa valeur  dans l’air est d’environ 340 mètres par seconde avec une petite différence selon la température et la pression.

Pour plus de précision la valeur est des 331 métrés / seconde a 0 degree Celsius plus 0.6 mètres/s par degré avec une pression atmosphérique normale). Donc 15 degrés Celsius C=331+ (0.6*15) =331+9 =340 m/s.

Notre boite- unité de 1 seconde est donc une boite unité de 340 m qui contient f cycles d’une longueur d’onde λ mètres. Ceci est exprimé mathématiquement par : C=f*l
ou C=Celerity (vitesse du son) f= Fréquence  l= longueur d’onde

Attention: C=340 m/s est seulement vrai dans l’air comme c’est le cas de l’instrument à  l’oreille de l’auditeur mais le musicien controle la vitesse ou la longueur d’onde pour produire une fréquence donnée en changeant certain paramètres.
La vitesse du son sera discutée plus tard.

 

Résumé La Fréquence dit combien de vibrations apparaissent par unité de temps tandis que la vitesse du son nous dit à  quelle vitesse le son passe à travers le milieu. La Période (P), nous donne le temps que le son met pour effectuer un cycle complet c’est donc l’inverse de la fréquence (P=1/f)

la  fréquence (nombres de cycles par seconde) est inversement proportionnel à  la longueur de la corde vibrante ou de la colonne d’air .

Plus la corde est courte plus le son est  aigu  avec une fréquence élevée

Table 1 calcul les fréquences d’une cithare virtuelle comportant 7 cordes similaires également tendues dont la seul différence est la longueur.La première corde, 20 centimètres de long , produit une fréquence hypothétique de 420 Hertz. La longueur de la seconde corde est double de la première et donne une fréquence de moitié, la troisième corde est 3 fois plus longue que la première etc….
Il faut noter qu’avec seulement , 7 cordes, notre  cithare de la largeur d’une main (20 centimetres )est presque de la taille d’un Piano (1.4 Mètre) à  l’autre extrémité.

Pour avoir une cithare de taille pratique, nous pouvons obtenir les mêmes fréquences en réduisant la longueur des cordesen augmentant son diamètre .

L’idée générale est que la fréquence n’est pas spécifiquement proportionnelle à  la longueur de la corde ou de la colonne d’air mais est proportionnelle à  la quantité de matière mis en resonance.

En fait, La célérité (C) dépend Tension de la corde (T) de sa Masse (M) et de sa longueur (L) La relation s’écrit [ C=√T/√ (M/L)]

La Fréquence est reliée à  la vitesse du son et la longueur de la corde F=C/2L

De la formule de base C=F*l  on extrait F=C/l en notant que l =2L qui montre la relation avec la longueur d’onde.

Résonance: Une corde ou une colonne d’ air mise en vibration émets un son prédominant appelé fondamental

D’autres sont de plus en plus aigues et faibles généralement accompagnent le son fondamental. Ces sons additionnels appelés harmoniques, dont la fréquence est un multiple de celle de la fondamentale

Le nombre d’harmoniques est théoriquement illimité mais en fait seules les 6 premières harmoniques sont clairement perçus.

Notre cordes de 20 centimètres qui produit une fréquence de 420 Hertz (son fondamental) qui donne la note, plus,selon la qualité du matériel, des sons de 840 HZ (420*2), 1260 Hz (420*3), 1680 HZ (420*4),etc… de moins en moins perceptibles

Résonance explique le Timbre and et l’Harmonie

La résonance explique le Timbre et l’ Harmonie

Timbre (qualité du son)

  • Il n’est que de rares instruments qui émettent seulement la fondamentale appelé son pur (sans harmoniques).
  • Pureté peut vite apparaître ennuyeuse.
  • La qualité du son dépend de la richesse de ses harmoniques.
  • Selon le nombre d’ harmoniques et leur relatives amplitude, le son prend une qualité spécifique (Timbre) qui rend différent une clarinette d’une flute ou d’un hautbois.

Harmonie

Si l’on joue un C au piano avec la pédale Forte on peut percevoir une parties de la  série  suivante.

Dans exemple La fondamentale est C, considérée premier harmonique (H1) .
Le rapport des   intervalles est  donné  par la lecture de droite à  gauche de deux sons successifs (exemple quinte=3/2,  tierce majeure =5/4 )
on peut noter

  • toutes les puissance de 2 (H2, H4, H8, H16) sont les octaves qui renforcent la fondamentale
  • Les harmoniques pairs (H2, H4, H6, H8, and H10) sont les réplique des sons précédents
  • Les harmoniques impairs (H3, H5, H7, H9, H11 and H13) ajoutent des nouveaux sons à la fondamentale et créer les accords.
  • L’ octave contient de plus en plus de divisions avec l’accroissement la série
    1. H2, L’ octave, est commune à toutes les civilisations et doit être pure.
    2. H3 est la quinte de la fondamentale et correspond aux premières melodies accompagnées appelées organum ou diaphonie.

puis vient

    1. L’accord majeur de tonique H4 H5 H6 ( CEG)

, puis

  1. l’accord de 7th /9th(dominant) de la quinte inférieure (F)

.


Les bases historiques de la musique tonale semblent donc inscrites par la nature
dans la résonance avec une ascension progressive de la série harmonique et le résumé du concept de musique tonale : Un accord de tonique stable qui commence et termine le discours musical, encadré d’une quinte inférieure et d’une quinte supérieure qui créer le mouvement.

Considérons maintenant l’unicorde: instrument à  une corde à  chevalet mobile qui permet de changer longueur de corde vibrante
La part vibrante (L) part du sillet et finit au chevalet. Si nous pressons la corde avec un doigt nous divisons donc cette corde en deux parties

  1. Une partie non vibrante (A) du sillet jusqu’au doigt
  2. une partie vibrante (B) du doigt au chevalet.


En plaçant le doigt au milieu de la corde, la corde est divisée en 2 part égale A=1/2 et B=1/2; la fréquence, qui est l’inverse de la longueur, a pour rapport 2/1 qui produit l’octave.

4=2*2 (or2 2)produirait la double octave, donc la seule autre possibilité de diviser la corde par un nombre entier est de placer notre doigt au tiers de la corde.

Cependant, nous rencontrons une alternative A=2/3+ B=1/3 et A=1/3+B=2/3.

Dans le premier choix , la part vibrante =1/3 multiplierait la frequence par 3 donc au de l’  de l’ octave.

Nous adoptons donc la seconde solution
La part vibrante de 2/3
mutiplie la fequence par 3/2 ou 1.5 et produit la quinte de la fondamentale .

En gardant le premier doit appuyé sur le tiers supérieur de la corde il devient le sillet et un deuxième doigt provoque une nouvelle division sur le tiers supérieur de la nouvelle partie vibrante  de la corde comme le ferait un violoniste ou un guitariste ce qui produit la quinte de la quinte  (3/2*3/2)

On peut également  mesurer la distance entre le doigt et le chevalet et transformer notre violon en une lyre avec des cordes  1.5 fois plus courte que la précédente

Table 2
  Corde initiale Corde 1 Corde 2 Corde 3 Corde 4
Longueur (Ratio) 1 2/3 4/9=(2/3)2 8/27=(2/3)3 16/81=2/3)4
Longueur(en Cm) 81 54 36 24 16
Frequence(Ratio) 1 3/2 9/4 =(3/2)2 27/8=(3/2)3 81/16=(3/2)4
Frequence (en Hertz) 87 130.5 195.75 293,62 440,43

Appelons la corde initiale (0) F; les suivante sont C G D A E B.


Nous avons la Lyre à  7 cordes d’ Orphée

Toutes les notes forment la gamme de C maj mais
il faut faire des ajustements des longueurs, listées dans la table 3, pour rester dans l’étendue de l’octave .

Table 3 Il faut noter la symétrie
Note Modification of longueur
C L=
D L*2
E L*4
F L/2
G L=
A L*2
B L*4

2 cordes gardent leur longueur C (tonique) et G (dominante), certaines sont doublees (L*2) ou multipliees par 4.

seule la sub-dominante est divisée

Remarque : La tonique n’est pas la première corde mais la seconde corde.Maintenantsi nous ajoutons une 8ème corde à  notre lyre,nous obtenons F# puis en continuant C# G# D# A# E# B# c’est à  dire une autre lyre un demi ton plus haut avec B# plus haut que C et donc dépassant l’octave
.

Table 4 Noter la symétrie
Note Modification de longueur
C# L/16
D# L/32
E# L/64
F# L/8
G# L/16
A# L/32
B# L/64

donc pour continuer il faudrait un hypothetique l F## puis F ### etc…une spirale sans fin.

Nous possédons donc uniquement 2 lyres
Pour associer ces deux lyres,nous devons à nouveau ajuster la longueur des cordes.

Résumé :La division d’une corde en 2 parties égales (1/2)produit l’Octave tandis que la division en 3 parts égales (1/3)  donne une tierce + une octave.
Pour rester dans l’étendue d’une octave devons  donc diviser  le ratio (1/3):(1/2)= (1/3)x (2/1)=2/3=1.5

La succession de cordes 1.5 fois plus courtes ou plus longues produit une spirale sans fin de F C G D A E B un demi-ton plus haut que la précédente

Fb Cb Gd Db Ab Eb Bb
F C G D A E B

F# C# G# D# A# E# B#

F## C## G## D## A## E## B##

Puisque B# est plus haut que C seule 2 séquences sont possibles
Calculons les fréquences de nos 14 cordes
Partant d’une hypothétique corde appelée F et une fréquence arbitraire de 100 Hertz

  • la première note C est 100*1.5 =150 Hz
  • la seconde est G (150*1.5=225) or 100*1.52
  • la troisième is D (225*1.5=337.5) or 100*1.53
  • etc
  • suivant le cycles des quintes jusqu’à B# (100*1.514)

Cependant nous obtenons un pente raide puisque le 150 Hz initial atteint 29192.93 Hz (about 7 Octaves)en 14 palliers
Pour l’adoucir nous devons contenir toutes les fréquences dans le cadre d’une octave.

(de 150 Hertz à 150*2=300 Hertz dans notre exemple). Pour cela il faut diviser par 2 toute les fréquences supérieures à 300 autant de fois qu’il faut .
La Table 5 montre les deux lyres mise ensemble mais triées séparément par fréquence croissante.

Table 5
Note Frequence Note Frequence  
C 150    
    C# 160.18
D 168.75    
    D# 180.20
E 189.845    
    E# 202.72
F 200    
    F# 213.57
G 225    
    G# 240.27  
A 253.12    
    A# 270.30  
B 284.76    
    B# 304.09  
C 300(150*2)    
         

En jouant les frequences en zigzag de haut en bas, on remarque l’ascension progressive de la gamme est brisée par 2 chutes (E# F) et (B#C).

Il faut donc supprimer 2 notes pour adoucir l’ascension.

B# dépasse l’octave, donc on peut aisément la supprimer,d’autant que l’octave doit être pure .
Le choix entre E# et F est plus difficile car quelque soit le choix , une quinte fifth E# -C ou A# -F sera trop petite; c’est la quinte du Loup.

D’un point de vue tonal on éliminera E# puisque le système tonal repose sur une tonique encadrée par deux quintes.

Cette Gamme pythagoricienne, basée sur les quintes , est constituée de 11 quintes pures etet une quinte plus étroite.

La description de cette gamme est une actualisation de la gamme pythagoricienne ou plus exactement de Ptolemée qui ne correspond absolument pas à la réalité historique

Nous utilisons les frequences ascendantes alors que Pythagore utilisait des longueurs de cordes croissantes (donc des fréquences descendantes).

Table 6
NOTE C F Bb Eb Ab
LONGUEUR 1 3 9 27 51
FREQUENCE 4500 1500 500 166,66 55,55

D’ou la forme descendante des gammes antiques

En fait , Pythagore raisonnait à  partir d’une conception philosophique generale basée sur les nombres et rapports.

Outre le tetraktys (1+2+3+4=10),
La musique a été construite sur une de ses séries favourites appelée La proportion universelle: Un groupe de 4 nombres tels que 12, 9, 8 et 6,qui repose sur la combinaison du
pair et de l’ impair

Table 7 Pair & Impair
Pair 1 2   4   6   8   10   12
Impair 1   3     6     9     12

qui donne 3 sortes de rapport:

  • Proportion Arithmétique : 12-9=9-6=3
  • Proportion Harmonique 12-8/8-6=4/2=2
  • Proportion Géométrique/8=9/6=3/2
    • 6 et 12 sont communs aux 2 séries
    • 9 est la moyenne arithmétique (6+12)/2
    • 8 est mediété Harmonic 2*(6*12)/12+6)

Résumé La proportion universelle de Pythagore repose sur 4 nombres tels que 12, 9, 8 and 6, et la combination du pair et de l’impair

Avec 4 cordes homogènes dont les longueurs sont respectivement 12, 9, 8, 6 unités

C F G C
12 9 8 6

En explorant chaque combinaison il déduit

      • CF: 12/9=4/3=la quarte
      • CG: 12/8=3/2= la quinte
      • CC: 12/6=2/1= l’ octave
      • FG: 9/8=le ton
      • FC: 9/6=3/2=la quinte
      • GC: 8/6=4/3=la quarte

Avant Pythagore la lyre, basée sur le rapport 3/2 , n’avait que 5 cordes.
Pour encadrer les notes dans l’étendue d’une octave,appliquons le facteur longueur déja utilisé pour faire le tableau 8

Table 8
Numero de la corde Note longueur initiale facteur d’adaptation de longueur Nouvelle longueur Fréquence
1 F 3/2 1/2 3/4 4/3
2 C 1 1 1 1
3 G 2/3 1 2/3 3/2
4 D (2/3)2 2 8/9 9/8
5 A (2/3)3 2 16/27 27/16
Table 9:triée par fréquence croissante
Numéro de corde 2   4   1   3   5    
Note C   D   F   G   A   C
Frequence 1   9/8   4/3   3/2   27/16   2
Intervalle   9/8   32/27   9/8   9/8   32/27
    T   Tierce Mineure   T   T   Tierce mineure

Nous avons la gamme pentatonique asymétrique avec

seulement deux sortes d’ intervalles

  • -Le ton (T) (9/8) qui est la différence entre la quarte (3/4) et la quinte (2/3).
  • -la tierce mineure (32/27) qui est la différence entre C and A: 32/27=2/1*16/27

Attention: différence signifie division (ou multiplication par le rapport inverse) en terme de proportion donc 9/8 =3/4 *3/2

Table 10:Avec 7 Cordes
Numéro de corde Note Longueur initiale facteur d’adaptation de longueur Nouvelle longueur Frequence
1 F 3/2 1/2 3/4 4/3
2 C 1 1 1 1
3 G 2/3 1 2/3 3/2
4 D (2/3)2 2 8/9 9/8
5 A (2/3)3 2 16/27 27/16
6 E (2/3)4 4 64/81 81/64
7 B (2/3)5 4 128/243 243/128
Table 11:Trié par fréquences croissantes
Numéro de corde 2   4   6   1   2   5   7   1
Note C   D   E   F   G   A   B   C
Fréquence 1   9/8   81/64   4/3   3/2   27/16   243/128   2
Intervalle   9/8   9/8   256/243   9/8   9/8   9/8   256/243
    T   T   ST   T   T   T   ST  

Nous obtenons la gamme pythagoricienne avec deux sortes d’intervalles.
Le tone (T) et le e demi-tone (ST) qui est la différence entre
F et E 256/243=64 /81*4/3 ou C and B 256/243= 2/1*128/243

La succession de deux notes forme un intervalle qui est la différence entre la note inférieure et la note supérieure . Chaque note de la gamme est reliée à  la tonique. Par exemple, l’intervalle EF est CF-CE.

Puisque les notes sont des rapports,la différence est en fait un quotient

Pendant des siècles les musiciens se sont satisfait d’une gamme de 7 notes . Pour ajouter de la variété aux mélodies, certains compositeurs ont pensé diviser la gamme en 12 parties tout en gardant l’asymétrie en ajoutant des quintes dans les deux directions.

En montant on introduit les dièses en descendant on ajoute les bémols et les rapports sont inversés

Bb ← F ← C → G → D   2/3   2/3   3/2   3/2

Partant de C=150 Hertz,multiplions la longueur de corde , ou divisons la fréquence par 1.5 pour obtenir les quintes descendante (Ratio 2/3).En utilisant le facteur d’adaptation de longueur nous obtenons le tableau suivant.

Table 12: fréquences décroissantes>
Note Fréquence Facteur multiplicateur Fréquence corrigée
C 150 1 150
F 100 2 200
Bb 66.67 4 266.68
Eb 44.45 4 177.8
Ab 29.63 8 237.04
Db 19.75 8 158
Gb 13 16 210.72
Cb 17 32 280.96
Fb 5.85 32 187.2

Comparé au tableau 5 nous remarquons que les notes diésées ont une fréquence supérieure à leur note enharmonique (C#-Db) avec bémol

C=150
C#=160.18
Db=158

La légère différence entre le demi ton chromatique (appelé Apotome) le demi ton diatonique (ou Limma) est le comma Pythagoricien 27/312/212=27*212/312=2191/312 =0.987 (or 312/219) = 1,013.

La différence entre C and C# est le rapport: 160.18/150=1.067 (Apotome)
La différence entre C and Db est le rapport: 158/150=1.053 (Limma)

comma Pythagoricien =Apotome/limma=1.067/1.053=1.013

 

 

12 Quintes font approximativement 7 octaves (27) =128 tandis que 12 quintes pures=(312/212 = 129.74) La différence (quotient) comma Pythagoricien:
128/129, 74=0.987

l’Apotome est la différence (quotient) entre le ton (9/8) et le demi ton (256/243)
9/8/256/243=9/8*243/256=2187/ 2048=37/211

La Limma est la différence (quotient) entre la quarte (4/3) et le ditone ou tierce Pythagoricienne 9/8*9/8=81/64
4/3 /81/64=4/3*64/81= 256/243=28/35

Comme 12 quintes pures consécutives aboutissent à B# au lieu de C, Une quinte doit être réduite pour garder l’octave pure. C’est la quinte du Loup.
N’importe quelle quinte peut être la quinte du Loup mais en général on utilise l’intervalle G#-D# qui est généralement inutilisé. Cependant cette méthode ne permet pas les modulations et il faut ré-accorder les instruments à chaque changement de tonalité .

De plus la gamme de Pythagore/ Ptolémée possède 2 sortes de demi-ton. Tout cela est acceptable aussi longtemps que la musique n’était que mélodique jouée avec des instruments à son non fixé comme le violon mais il devint difficile de jouer les polyphonies au clavier qui demandait des notes supplémentaires ou aux instruments à frets qui devenaient faux en changeant de tonalité

Examinons ce qui ce passe en jouant deux cordes simultanément.

En reprenant la figure 5 montrant un cycle, on voit que la courbe sinusoidale coupe la ligne de repos 3 fois par cycle.

Les points de croisement (pas de son) s’appelle les noeuds et entre les noeuds se trouvent les parties vibrantes .
Il faut souligner que les courbes sinusoidales appartiennent aux sons purs :1 seule fréquence

Le Son est généralement un mélange de sons purs avec différentes fréquences, appelées Harmoniques qui changent la forme de l’onde résultante en additionnant ou soustrayant leur intensité selon la loi déjà énoncée

Crête+Crête or Creux +Creux s’additionnent créant un son plus fort

Crête + Creux se soustraient mutuellement assourdissant le son

Deux cord jouée ensemble changent la forme de l’onde résultante de la même façon.
Fréquences avec un nombre entier sont musicales car les petits cycles divisent exactement les plus grands donc les noeuds coincident avec les noeuds de la fondamentales et créer un motif régulier.

Les noeuds peuvent être assimilés à une division de la corde .

La Figure 5 ,qui représente la fréquence de la fondamental (F1) (appelée 1er harmonique (H1),demande une attention particulière . La longueur d’onde l est double de la longueur de la corde car l’onde va et vient ; une onde direct et une onde réfléchie.

Comme représentation des harmoniques,seule la première partie du cycle est concernée

La longueur de la corde est une de noeud( figure 6)

addition of noeuds implique addition de demi cycle.

Comme la fréquence de la fondamental (F1) ((1er harmonique H1) a une longueur d’onde double de la longueur de la corde (L), λ1=2/1*L, la longueur d’onde du second harmonique est l2=2/2*L ,du troisième harmonique l3=2/3*L
du nème harmonique=ln=2/n*L

Fréquence du nème harmoniques F(n) = F1 (fréquence de la fondamentale) * n

et     λn=1/n*L1

La note fondamentale est accompagnée de plusieurs tons de fréquence plus 2,3,4,5 etc.. fois plus élevée appelés overtones
Beaucoup de musiciens utilisent indifféremment les termes Harmoniques,overtones et partiels .
D’autre appellent la Fondamentale 1er harmonique, le second harmonique étant le premier overtone; ou encore la fondamentale est première t partielle

    • Certains auteurs reserve le terme « partielle aux overtones qui ne sont pas multiples entiers de la fondamentale
La situation est des plus confuse

 

 

Musical ne signifie pas consonant;

Plus le rapport est faible (proche de la fondamentale , plus il est consonant
donc 2/1(octave) est plus consonant que 3/2 la quinte qui est plus consonant que 4/3 la quarte qui partagent moins d’harmoniques que l’octave.

      • Dans l’ Octave un harmonique sur 2 est commun
      • Dans la quinte 1 harmonique sur 3 est commun etc….

A nouveau on retrouve la série des harmoniques (résonance).

Mais si 2 fréquences (< 7 cycles) interfèrent il se produit un battement caractérisé par changement régulier d’ amplitude de 0 (pas de son ) à une augmentation puis diminution du son

La fréquence du battement qui est une sorte de gonflement du son est la différence pas le rapport ) entre les 2 fréquences.

Par exemple 258 Hz – 256 Hz = 2 Hz

Là est le problème

En reprenant les harmoniques, la fréquence de la tierce majeure (H5) est 5 fois la fréquence de la fondamentale

avec C= 150

E est 150*5 =750 divisé par   4 pour rester dans l’étendue d’une octave 750/4=187.5

alors que la gamme Pythagoricienne (table 4) indique E =189.84.

A cause du battement , la différence, appelé syntonique ( voir ci-dessous) était inacceptable pour les polyphonies et les accords;

d’où le développement de l’ornementation et des tempéraments .

Résumé

2 Fréquences proches (< 7 cycles) interfèrent l’une avec l’autre et créer le phénomène  de battement inacceptable dans les polyphonie et accords mais amélioré par l’ornementation et les tempéraments

L’Ornementation
En particulier dans la musique baroque pour clavecin , ou les battement proéminents dans les accords longs étaient masqués par l’addition de notes trille, mordent etc

Les Tempéraments

Le but des musiciens est de surmonter une impossibilité : construire l’octave pure et une gamme utilisant des intervalle simple Malheureusement la malédiction du musiciens est que 2 (l’octave) ne peut pas etre exactement divisé par 3 (le générateur de notes),Il faut faire des choix

Comme nous l’avons déjà vu ,

      • On peut accorder 11 quintes pures et négliger la 12
      • ou répartir la réduction (principe des tempéraments) sur plusieurs quintes ( tempérament inégal de Werckmeister par exemple, utilisé au temps de Bach) qui adoucit les impuretés et permet certaines modulations
      • ou repartir la réduction sur les 12 quintes (tempérament égal) ou tout, en dehors de l’octave, est un peu faux mais qui améliore certaines tierces et quintes.2 systèmes sont particulièrement importants:
        • -Le tempérament Mesotonique (XVIIth Century):Les tierce sont pures et le quintes presque pures pour une tonalité donnée
        • Notre Système tempéré égal ou tout est faux en dehors de l’ octave

         

        Pour Résumer la gamme pythagoricienne :

        • Les quintes sont justes a l’exception de la quinte du Loup
        • Les tierces majeures sont plus grande que la tierce pure issue de la résonance
        • les tierces mineurs sont dont trop petites
        • Il y a 2 sortes de demi-ton qui ne correspondent pas a un ton .

        En dépit de ces désavantages, cette gamme ne peut être ignorée car seules les quinte sont génératrices des douze tons.

        A titre de test prenons dans la série harmonique la consonance suivant la quinte: la tierce majeure (H5).Essayons de générer une gamme à  partir des tierces majeures: C E G# B#; en 3 sauts nous atteignons et dépassons l’octave .

Comme la tierce Pythagoricienne est plus grande que la pure , l’accord( triade) est faux.

Zarlino, introduit alors le chiffre  5, pour essayer d’ajuster d’autres intervalles afin de garder les tierces pures.

L’idée générale est de privilégier les 3 accords de la tonalité

I -IV-V.

Pour ce faire, il garde les quintes Pythagoricienne F-C, C-G, et G-D (pour la gamme de C Major ) et adapte D-A / A-E / E-B.

Il obtient les rapports suivants:

      • CD=9/8 Le ton Pythagoricien
      • CE= 5/4 Tierce majeure pure
      • CF=4/3 la quarte pure
      • CG=3/2 La quinte pure
      • CA= 5/3 la tierce (5/4) de la quarte (4/3) (5/4*4/3=20/12=5/3)
      • CB=15/8 la tierce (5/4) de la quinte (3/2) 
      • (5/4*3/2=15/8)

Malheureusement cette gamme conduit à  2 sortes de tons 9/8 ( le ton Pythagoricien) et 10/9, 1 sorte de demi-ton (16/15) et une quinte du loup (D-A)

( A est la tierce ( pure) de F, et non la quinte de D).

Table 14 A :Gamme de C maj de Zarlino
Notes frequence Initiale Ratio frequence Resultante
C 150 1/1 150
D 150 9/8 168.75
E 150 5/4 187.5
F 150 4/3 200
G 150 3/2 225
A 150 5/3 250
B 150 15/8 281.25
C 150 2 300
Table 14 B :Gamme de D maj de Zarlino
Notes frequence Initiale Ratio frequence Resultante
D 168.75 1/1 168.75
E 168.75 9/8 189.84
F# 168.75 5/4 210.93
G 168.75 4/3 225
A 168.75 3/2 253.12
B 168.75 5/3 281.25
C# 168.75 15/8 316.40
D 168.75 2 337.5

.

En Comparant les gammes de C maj et D Maj , on note que certaines notes (D G B) ont la même fréquence dans les 2 tonalités mais A est différent car il est maintenant la quinte de la tonique au lieu de la tierce de la sub-tonique en C maj.

L’ extension à  la gamme chromatique devient très compliquée car 2 cycles (Quintes et tierces) sont impliquées donnant plusieurs possibilités pour arriver au but mais avec résultats différents et plusieurs sortes de commas .

Les notes bémolisées et les notes diésées sont des valeurs différentes selon la succession des notes.


Cependant ce système convient parfaitement aux accords

car il utilise les éléments 4:5:6 (pour l’accord Maj) et 10:12:15 (pour l’accord min)de la résonance sans battements

Les facteurs 2 et 3 de Pythagore générant des tierces trop larges et l’addition du facteur 5 de Zarlino créant plus de complications que de résolutions du problème, Holder choisit une méthode de calcul totalement différente en  utilisant les nombres irrationnels (racines) pour diviser l’octave en 53 parties égales; ce qui est un compromis entre le comma syntonique de Zarlino et le comma Pythagoricien .

53 vient de l’octave Pythagoricienne qui est faite de 5 apotomes de 5 commas et 7 limmas de 4 commas.
53= (5*5) + (7*4)

Table 15 : Gamme de C Maj Holderienne
NOTES Puissance de 2 fréquence Initiale Multipliée par Fréquence
C 0 150 1 150
D 9/53 150 1,12491136 168,736703
E 18/53 150 1,26542556 189,813834
F 22/53 150 1,33338587 200,00788
G 31/53 150 1,4999409 224,991135
A 40/53 150 1,68730056 253,095083
B 49/53 150 1,89806356 284,709534
C 1 150 2 300

Chaque comma holderien vaut 2 1/53 (53th root of 2)

La gamme Holderiennen (celle décrite dans nos livres moderne de théorie),possède ,comme la gamme pythagoricienne 1 sorte de ton et 2 sortes de demi-ton, le demi-ton diatonique et le demi-ton chromatique.

    • Le Ton a 9  commas holderiens 
    • Le demi-ton diatonique a 4 commas
    • Le demi-ton chromatique possède 5 commas

.

Donc

      • Un ton is 29/53 (=1,1249)fois la fréquence initiale
      • Le demi-ton diatonique est 24/53 (=1,0537) fois la fréquence initiale
      • Le demi-ton chromatique est 25/53 (=1,0675) fois la fréquence initiale

avec C=150 Hz

    • D = 150* 29/53=168.73

,

    • C# =150* 25/53 =160.13

et

  • Db= 150*24/53=158.5

Donc Db est plus bas que C# dans ce système

Le calcul de la gamme chromatique holderienne est plutôt compliqué car plusieurs combinaisons des facteurs 1, 4, 5 et 9 sont possibles pour conduire à  la gamme de 31 notes

Table 16:système de Holder La Première ligne est le numérateur n de la racine
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
C B#     Db C#       D

Les Fréquences des notes ne sont pas très différentes de celles du système Pythagoricien
maisr leur nature est différente et a ouvert la voie à notre gamme tempérée moderne .

La présence de 2 sortes de demi-tons permet l’intonation expressivec’est la gamme des chanteurs

Le calcul de la gamme chromatique holderienne est plutôt compliqué car plusieurs combinaisons des facteurs 1, 4, 5 et 9 sont possibles pour conduire à  la gamme de 31 notes

Table 17: Les 31 notes ordonnées du système de Holder La première colonne est le numérateur n de la racine
: Exemple G=231/53
Table 16:système de Holder La Première ligne est le numérateur n de la racine
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
C B#     Db C#       D

Les Fréquences des notes ne sont pas très différentes de celles du système Pythagoricien
maisr leur nature est différente et a  ouvert la voieà  notre gamme tempérée moderne .

La présence de 2 sortes de demi-tons permet l’intonation expressivec’est la gamme des chanteurs

L’histoire des Modes est une affaire plutôt compliquée

Dorien, Lydien etc sont les noms grecs qui se réfèrent à des gammes antiques descendantes mais attribuées plus récemment à des gammes Grégoriennes ascendantes.

Un nom donné ne s’applique pas forcément à  la même gamme selon l’époque ou les auteurs; de plus les gammes Grégoriennes avait deux formes (authente et plagale qui est une  quinte plus basse que la forme authente   qui se chevauchent) La plus grande confusion règne.

Le plus simple est d’ignorer la nomenclature. Partant de C maj, les modes reprennent la gamme sur chaque degré dans un ambitus d’une octave . Nous avons donc la gamme de Ré au lieu mode (Dorien), gamme de MI pour le mode Phrygien etc.

Chaque mode peut bien  être transposé et nous dirons, par exemple, mode de Ré transposé sur G.

 

 

La série descendante des harmoniques n’a pas les propriétés de résonance dans les conditions normales .(Nécessité d’employer des moyens electro acoustiques ou certaines techniques)

Elle est symétriqueà  la forme ascendante mais aboutit à  un accord mineur que l’on ne perçoit pas . Donc seules les harmoniques supérieurs sont perçus d’ou la règle de l’harmonie de se référer à  la basse.


La série descendante produit l’accord mineur chord une quinte plus bas que la fondamentale donc C émet l’ accord de C maj en montant et de F min en descendant.

Attention :La série descendante ne doit pas être confondue avec  Le troisième son de Tartini (bien qu’il soit reliés)

Symétrie dans les rapports ne signifie pas forcément symétrie dans la gamme.

Table 17: Les 31 notes ordonnées du système de Holder La première colonne est le numérateur n de la racine
: Exemple G=231/53
Les demi -tons ascendants (gamme C maj) et descendants ( gammes de F min) ne correspondent pas
C D E F G A B C
F Eb Db C Bb Ab G F

Cependant une gamme majeur a toujours son miroir mineur exact qui est situé tierce majeure au dessus de la fondamentale donc le miroir de C maj est E min

C Maj ascendant et son miroir
C D E F G A B C
E D C B A G F E

L’inverse est aussi vrai

Donc le vrai relatif mineur (selon Vincent d’Indy) de C maj est E minor ( mode phrygien ) et non  Am

La mineur (Eolien sans sensible) n’est pas le miroir exact de Do majeur

Cependant la gamme lydienne( E mineur sans altérations ni structurelle ni accidentelle), miroir exact de Do majeur, a une parenté avec La mineur :En prenant MI comme fondamentale, la suite descendante des quintes donne l’accord de La mineur une quinte sous Mi

De plus ces deux gammes opposées se partagent les degrés IV et V créant soit une cadence authente V-I soit une cadence plagale IV-I

Attention l’inverse n’est pas vrai


Prenant la suite  A←C←E←A←E  (harmoniques descendantes de E)  le miroir n’est pas DO mais Mi .En considérant La comme fondamentale on doit élever le 7ème degré pour obtenir une gamme ressemblant au majeur mais  on sort de la tonalité et la gamme devint hybride

La confusion remonte à  la période baroque et sa basse continue.La note de basse était prépondérante et l’accord était dit mineur (dans le sens petit)quand la tierce inférieure était mineur. Mais l’accord mineur n’est pas plus petit que l’accord majeur puisque tous les deux comportent une tierce majeure et une tierce mineur en ordre inversé et forment une quinte juste


Modalité et tempérament

Bien que l’antique gamme Pythagoricienne , soit faite de 5 puis 7 notes et contienne des tons et demi-tons, il n’y a pas de hiérarchie puisqu’une note quelconque est 1.5 fois plus haute que la précédente Il n’y a pas de tonique imposée.

Comme les gamme étaient descendantes elle n’étaient pas basées sur la résonance et étaient dédiées aux mélodies .

Avec le mouvement ascendant des gammes et l’avènement des polyphonies , la modalité est devenu une notion ambiguë car le concept de résonance est appliquéà  un système non résonant .

Le Mode n’est plus un changement de direction de la gamme mais un changement dans la distribution des tons et demi-tons qui procure aux gammes un « épice » particulier.

malheureusement détruit ultérieurement par le tempérament égal.

Ainsi les nouveaux concepts dévoilent des défauts qui avaient été plus ou moins résolus mais , dont on a oublié la cause originale , et tout devient confus.

Un peu comme un bricoleur qui colle du papier peint de travers ;il coupe se qui dépasse,met un galon pour masquer la partie manquante puis non satisfait du résultat, recherche une autre solution sans se rappeler qu’il a posé le papier de travers.


Pour conclure
: Il me semble que la confusion vient souvent du fait que le principe des proportions se retrouve dans différent champs musicaux intriqués .

    • -La Fréquence est proportionnelle à  la masse d’un matériel : Un fait physique qui concerne la production du son et du au  timbre selon
        • le rapport Poids /Volume (Densité) suivant le type de matériel (bois, métal, cristal etc)
          Par exemple, le compositeur peut choisir de faire jouer une même note par une trompette ( colonne d’air) ou un vibraphone (bloc de métal ) etc

      ou

        • le rapport Longueur / diamètre pour les cordes et colonne d’air

      . par exemple un violoniste peut jouer une même note (F# 5) sur les 4 cordes.

Le musicien, qui est un fabriquant de fréquences , peut donc jouer différemment une note (une fréquence donnée) en utilisant différentes sortes de proportions:

    • la fréquence est  proportionnelle à  la longueur de la  corde

Une affirmation qui se réfère la mélodie ( notes successives)

Cependant les noeuds étant des divisions de la corde la dite affirmation se réfère à la résonance et donc l’harmonie (notes simultanées)

Note: Dans de nombreuses situations la  différence entre les systèmes acoustiques est si petite que l’on peut penser que c’est Beaucoup de bruit pour rien mais  il faut souligner que ces  différences de concepts mène à  de nouvelles voies de recherche comme de  nouvelles règles de  contrepoint et d’ harmonie avec l’apparition des tierces pures, de nouvelles factures  instrumentales avec l’ introduction des  temperaments ou de nouveaux timbrse avec les micro intervals.